|
|
 |
Условие
Из клетчатого квадрата 55×55 вырезали по границам клеток 400 трёхклеточных уголков (повёрнутых как угодно) и ещё 500 клеток.
Докажите, что какие-то две вырезанные фигуры имеют общий отрезок границы.
Решение
Предположим, что вырезанные фигуры не имеют общих сторон.
Первый способ. Добавим к каждой фигуре такую каёмку, как показано на рисунке.
Фигуры с добавленными каёмками не накладываются друг на друга. Действительно, каёмка фигурки F состоит ровно из тех точек, расстояние от которых до F не больше, чем расстояние до любой клетки, не имеющей общих сторон с F. Значит, если точка X лежит в каёмках двух фигурок (не имеющих общих сторон), то расстояние от X до первой фигурки не больше, чем до второй, и одновременно не меньше, чем до второй. Тогда эти расстояния равны, то есть X лежит на границах обеих каёмок.
Площадь уголка с каёмкой равна 5,5, а площадь клетки с каёмкой равна 2. Так как вырезано 400 уголков и 500 клеток, то суммарная площадь всех фигур с каёмками составит 2200 + 1000 = 3200. Но все эти фигуры с каёмками лежат в квадрате 56×56 с тем же центром, что и исходный. Но площадь этого квадрата равна 3136 < 3200. Противоречие.
Второй способ. Рассмотрим квадрат до вырезания, нарисуем все стороны клеточек вырезанных фигур и к каждому уголку добавим две половинки сторон клеток, как показано на рисунке. Заметим, что сторона клетки, половина которой добавлена, не может принадлежать никакой другой фигуре. Следовательно, никакие нарисованные отрезки не накладываются.
Для каждого уголка мы нарисовали отрезки суммарной длины 11, а для клетки – суммарной длины 4. Значит, суммарная длина всех нарисованных отрезков равна 4400 + 2000 = 6400. С другой стороны, все эти отрезки лежат на 56 горизонтальных отрезках длины 56 (выступающих за квадрат на ½ в обе стороны) и 56 аналогичных вертикальных отрезках; значит, их суммарная длина не больше 2·562 = 6272 < 6400. Противоречие.
Замечания
1. Оценку из второго решения можно немного уточнить, заметив, что за левую сторону квадрата отрезок может выступать не чаще, чем в каждой третьей горизонтали; то же верно и для других сторон.
2. Подобная оценка близка к точной для любого квадрата. Действительно, на клетчатой плоскости можно разместить уголки и клетки так, как показано на рисунке ниже; в любом достаточно большом квадрате количества попавших в него уголков и клеток будут относиться примерно как 4 : 5. При этом вся плоскость разбивается на каёмки из первого решения, а все стороны клеток разбиваются на отрезки из второго решения.
