Из точки C, лежащей вне окружности с центром O, проведены два луча, пересекающие окружность: первый — в точках M и A, второй — в точках N и B. При этом точка N лежит между точками B и C. Углы MOA и NOB равны 120^o. Перпендикуляр NL, опущенный из точки N на прямую AB, равен 12. Отрезок MN в 5 раз меньше отрезка AB. Найдите площадь треугольника MNC.

   Решение

На окружности отметили n точек, разбивающие её на n дуг. Окружность повернули вокруг центра на угол ^2πk/_n (при некотором натуральном k), в результате чего отмеченные точки перешли в n новых точек, разбивающих окружность на n новых дуг.
Докажите, что найдётся новая дуга, которая целиком лежит в одной из старых дуг. (Считается, что концы дуги ей принадлежат.)

   Решение

Темы:    [ Подсчет двумя способами ] [ Доказательство от противного ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

На окружности отметили n точек, разбивающие её на n дуг. Окружность повернули вокруг центра на угол ^2πk/_n (при некотором натуральном k), в результате чего отмеченные точки перешли в n новых точек, разбивающих окружность на n новых дуг.
Докажите, что найдётся новая дуга, которая целиком лежит в одной из старых дуг. (Считается, что концы дуги ей принадлежат.)

Решение

  Будем считать, что радиус окружности равен 1, а поворот происходил по часовой стрелке. Можно также считать, что  k < n.  Если две новых точки лежат на одной старой дуге, то новая дуга между ними – требуемая. Предположим, что таких новых точек нет. Так как есть n старых дуг и n новых точек, это возможно только в случае, когда на каждой старой дуге лежит ровно по одной новой точке (причём эти точки не совпадают с концами старых дуг).
  Занумеруем старые точки по часовой стрелке A₁, A₂, ..., A_n; при повороте точка A_i переходит в новую точку B_i (мы считаем нумерацию циклической, то есть  A_n+i = A_i  и  B_n+i = B_i).  Пусть точка B₁ лежит на дуге A_jA_j+1. Так как на каждой старой дуге ровно по одной новой точке, соседние точки попадали на соседние дуги: при каждом i точка B_i лежит на дуге A_j+i–1A_j+i.
  Предположим, что  j ≤ k.  Все дуги вида A_iA_i+1...A_i+j покрывают окружность ровно в j слоёв; значит, сумма их длин равна  2πj ≤ 2πk.  С другой стороны, длина дуги A_iA_i+1...A_i+j больше длины дуги A_iB_i, которая равна ^2πk/_n; значит, сумма их длин больше чем  n·^2πk/_n = 2πk.  Противоречие.
  Если же  j > k,  то сумма длин всех дуг вида A_iA_i+1...A_i+j–1 равна  2π(j – 1) ≥ 2πk.  С другой стороны, она меньше суммы длин всех дуг A_iB_i, которая равна 2πk. Опять противоречие.

Источники и прецеденты использования