Условие
Внутри вписанного четырёхугольника ABCD отмечены такие точки P и Q, что ∠PDC + ∠PCB = ∠PAB + ∠PBC = ∠QCD + ∠QDA = ∠QBA + ∠QAD = 90°.
Докажите, что прямая PQ образует равные углы с прямыми AD и BC.
Решение
Обозначим окружности, описанные около четырёхугольника ABCD и треугольников ABP, CDP, ABQ, CDQ через Ω, ω1, ω2, ω3, ω4 соответственно (см. рис.).
Пусть X – проекция P на BC; обозначим прямую PX через l1. Тогда ∠BPX = 90° – ∠PBC = ∠PAB; значит, прямая l1 касается окружности ω1. Аналогично l1 касается окружности ω2; итак, прямая l1 и окружности ω1, ω2 касаются в точке P. Так же доказывается, что прямая l2, проходящая через Q и перпендикулярная AD, и окружности ω3 и ω4 касаются в точке Q. Рассмотрим два случая.
1) Прямые AB и CD пересекаются в некоторой точке R. Обозначим через P1 и P2 вторые точки пересечения прямой RP с ω1 и ω2 (P1 = P, если RP касается ω1; аналогично для P2). Тогда RP·RP1 = RA·RB = RD·RC = RP·RP2, то есть P1 = P2. Так как P – единственная общая точка ω1 и ω2, то P1 = P2 = P. Значит, RP совпадает с l1, то есть RP² = RA·RB.
Аналогично RQ совпадает с l2, и RQ² = RA·RB. Следовательно, RP² = RA·RB = RQ², то есть треугольник PQR – равнобедренный и его основание PQ образует равные углы с прямыми QR и PR, а значит – и с перпендикулярными им прямыми AD и BC.
2) AB || CD. Тогда ABCD – равнобокая трапеция или прямоугольник. Этот четырёхугольник и все рассматриваемые окружности симметричны относительно общего серединного перпендикуляра к AB и CD. Следовательно, точки P и Q лежат на этой прямой, а она, очевидно, образует равные углы с прямыми AD и BC.
Замечания
В данной конструкции R – общий радикальный центр окружностей Ω, ω1, ω2, ω3 и ω4.
