ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64354
Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Радикальная ось ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Пастор А.

Внутри вписанного четырёхугольника ABCD отмечены такие точки P и Q, что  ∠PDC + ∠PCB = ∠PAB + ∠PBC = ∠QCD + ∠QDA = ∠QBA + ∠QAD = 90°.
Докажите, что прямая PQ образует равные углы с прямыми AD и BC.


Решение

  Обозначим окружности, описанные около четырёхугольника ABCD и треугольников ABP, CDP, ABQ, CDQ через Ω, ω1, ω2, ω3, ω4 соответственно (см. рис.).

  Пусть X – проекция P на BC; обозначим прямую PX через l1. Тогда  ∠BPX = 90° – ∠PBC = ∠PAB;  значит, прямая l1 касается окружности ω1. Аналогично l1 касается окружности ω2; итак, прямая l1 и окружности ω1, ω2 касаются в точке P. Так же доказывается, что прямая l2, проходящая через Q и перпендикулярная AD, и окружности ω3 и ω4 касаются в точке Q. Рассмотрим два случая.
  1) Прямые AB и CD пересекаются в некоторой точке R. Обозначим через P1 и P2 вторые точки пересечения прямой RP с ω1 и ω2  (P1 = P,  если RP касается ω1; аналогично для P2). Тогда  RP·RP1 = RA·RB = RD·RC = RP·RP2,  то есть  P1 = P2.  Так как P – единственная общая точка ω1 и ω2, то  P1 = P2 = P.  Значит, RP совпадает с l1, то есть  RP² = RA·RB.
  Аналогично RQ совпадает с l2, и  RQ² = RA·RB.  Следовательно,  RP² = RA·RB = RQ²,  то есть треугольник PQR – равнобедренный и его основание PQ образует равные углы с прямыми QR и PR, а значит – и с перпендикулярными им прямыми AD и BC.
  2)  AB || CD.  Тогда ABCD – равнобокая трапеция или прямоугольник. Этот четырёхугольник и все рассматриваемые окружности симметричны относительно общего серединного перпендикуляра к AB и CD. Следовательно, точки P и Q лежат на этой прямой, а она, очевидно, образует равные углы с прямыми AD и BC.

Замечания

В данной конструкции R – общий радикальный центр окружностей Ω, ω1, ω2, ω3 и ω4.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2012-2013
этап
Вариант 5
класс
Класс 10
задача
Номер 10.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .