Задача 64355

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Признаки делимости на 2 и 4 ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Сендеров В.А.

Существует ли такое натуральное n, что для любых ненулевых цифр a и b число  anb  делится на  ab ?  (Через  x...y  обозначено число, получаемое приписыванием друг к другу десятичных записей чисел x, ..., y.)

Решение

Предположим, что такое число  n = n_kn_k+1...n₁  существует. Тогда  1n2  кратно 12, а значит, и 4. По признаку делимости на 4  n₁2  кратно 4. Аналогично из того, что  2n4  кратно 24, следует, что  n₁4  кратно 4. Значит, и  2 = n₁4 – n₁2  делится на 4, что не так.

Ответ

Не существует.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2012-2013
этап
Вариант	5
класс
Класс	10
задача
Номер	10.5