ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64360
Темы:    [ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
[ Элементы пирамиды (прочее) ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Проектирование помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Шмаров В.

Вписанная и вневписанная сферы треугольной пирамиды ABCD касаются её грани BCD в различных точках X и Y.
Докажите, что треугольник AXY тупоугольный.


Решение

Первый способ. Пусть гомотетия с центром в точке A, переводящая вневписанную сферу во вписанную, переводит точку Y в некоторую точку Z вписанной сферы. Эта гомотетия переводит плоскость (BCD) в плоскость, параллельную (BCD) и касающуюся вписанной сферы в точке Z. Значит, X и Z – диаметрально противоположные точки вписанной сферы, а следовательно,  XZ ⊥ (BCD).  Поскольку Z лежит на отрезке AY, то  ∠AXY > ∠ZXY = 90°

Второй способ. Пусть I и J – соответственно центры вписанной и вневписанной сфер, а AH – высота пирамиды. Точки A, I и J лежат на одной прямой (все точки которой равноудалены от плоскостей (ABC), (ACD) и (ADB)), причём I лежит между A и J. Значит, их проекции H, X и Y на плоскость (BCD) также лежат на одной прямой, причём X лежит между H и Y. Итак, основание высоты AH треугольника AXY лежит вне стороны XY, и, следовательно, этот треугольник – тупоугольный.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2012-2013
этап
Вариант 5
класс
1
Класс 11
задача
Номер 11.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .