|
|
 |
Условие
В шахматном турнире участвовали гроссмейстеры и мастера. По окончании турнира оказалось, что каждый участник набрал ровно половину своих очков в матчах с мастерами. Докажите, что количество участников турнира является квадратом целого числа. (Каждый участник сыграл с каждым по одной партии, победа – 1 очко, ничья – ½ очка, поражение – 0 очков.)
Решение
Пусть в турнире участвовали n мастеров и k
гроссмейстеров. Поскольку каждый мастер набрал половину своих
очков в матчах с мастерами, то количество очков, набранных мастерами в матчах с гроссмейстерами, равно количеству очков, набранных мастерами в матчах между собой, то есть
½ n(n – 1).
Аналогично количество очков, набранных гроссмейстерами в матчах с мастерами, равно количеству очков, набранных гроссмейстерами в матчах между собой, то есть ½ k(k – 1).
Сумма очков, набранных мастерами в матчах с гроссмейстерами, и очков, набранных гроссмейстерами в матчах с мастерами, равна количеству матчей между гроссмейстерами и мастерами, то есть nk.
Таким образом, k(k – 1) + n(n – 1) = 2nk, то есть k² – k + n² – n = 2nk, откуда n + k = (k – n)².
