Задача 64394

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Средняя линия трапеции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Нилов Ф.

Две окружности ω₁ и ω₂ с центрами O₁ и O₂ пересекаются в точках A и B. Точки C и D, лежащие соответственно на ω₁ и ω₂ по разные стороны от прямой AB, равноудалены от этой прямой. Докажите, что точки C и D равноудалены от середины отрезка O₁O₂.

Решение

По условию прямая AB проходит через середину M отрезка CD (см. рис.). Пусть прямая CD вторично пересекает ω₁ и ω₂ в точках P и Q соответственно. По теореме о секущих  MC·MP = MB·MA = MD·MQ = MC·MQ.  Отсюда  MP = MQ  и  PC = DQ.  Пусть K и N – середины отрезков PC и DQ соответственно. Тогда M – середина KN. Средняя линия прямоугольной трапеции O₁KNO₂ является серединным перпендикуляром к отрезку CD. Следовательно, точки C и D равноудалены от середины отрезка O₁O₂.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2013
класс
Класс	9
задача
Номер	9.2