Пусть a — комплексное число, лежащее на единичной окружности S с центром в нуле, t — вещественное число (точка, лежащая на вещественной оси). Пусть, далее, b — отличная от a точка пересечения прямой at с окружностью S. Докажите, что = (1 - ta)(t - a).

   Решение

Пусть a, b, c, d — комплексные числа, причем углы a0b и c0d равны и противоположно ориентированы. Докажите, что тогда abcd = 0.

   Решение

Темы:    [ Неравенства с площадями ] [ Отношение площадей треугольников с общим углом ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Длина каждой стороны выпуклого четырёхугольника ABCD не меньше 1 и не больше 2. Его диагонали пересекаются в точке O.
Докажите, что S_AOB + S_COD ≤ 2(S_AOD + S_BOC).

Решение

  Достаточно доказать, что одно из отношений  ^AO/_OC  и  ^BO/_OD  не меньше ½ и не больше 2. Действительно, если, скажем, отношение  ^AO/_OC  такое, то
S_A0B ≤ 2S_BOC  и  S_COD ≤ 2S_AOD,  откуда и следует требуемое.
  Без ограничения общности можно считать, что  AO ≤ OC,  BO ≤ OD.  Предположим противное: пусть  AO ≤ ½ OC,  BO ≤ ½ OD.  Отложим на отрезках OC, OD соответственно отрезки  OA' = 2OA,  OB' = 2OB  (см. рис.). Тогда  A'B' = 2AB ≥ 2,  и точки A', B' лежат на сторонах треугольника COD (не совпадая с вершинами). Значит, отрезок A'B' меньше одной из сторон этого треугольника (см. задачу 55155). Оценим стороны треугольника COD.
  По условию  CD ≤ 2.  Поскольку точка O лежит между B и D, то отрезок CO не больше одной из сторон CB и CD, следовательно,  CD ≤ 2  и аналогично
DO ≤ 2.  Отрезок A'B' должен быть меньше одной из этих сторон, но  A'B' ≥ 2.  Противоречие.

Замечания

  Равенство достигается, например, в следующем (вырожденном) четырёхугольнике. Рассмотрим треугольник ABC, в котором  1 ≤ AB,  BC ≤ 2  и  AC = 3,  и выберем точку D на отрезке AC так, что  CD = 1,  DA = 2.
  Из решения нетрудно видеть, что для невырожденных четырёхугольников неравенство строгое.

Источники и прецеденты использования