На кольцо свободно нанизано 2009 бусинок. За один ход любую бусинку можно передвинуть так, чтобы она оказалась ровно посередине между двумя соседними. Существуют ли такие изначальная расстановка бусинок и последовательность ходов, при которых какая-то бусинка пройдёт хотя бы один полный круг?

   Решение

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]

Сложность: 3+ Классы:

Прислать комментарий

Условие

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O. Точки E и F – середины не содержащих других вершин дуг AB и CD соответственно. Прямые, проходящие через точки E и F параллельно диагоналям четырёхугольника ABCD, пересекаются в точках K и L. Докажите, что прямая KL содержит точку O.

Решение

Пусть K – точка пересечения прямой, проходящей через E параллельно AC, и прямой, проходящей через F параллельно BD (см. рис.). Заметим, что
∠(KE, EF) = ∠(AC, EF) = ½ (⌣CF + ⌣AE) = ½ (⌣FD + ⌣EB) = ∠(BD, EF) = ∠(KF, EC).  Это значит, что треугольник KEF равнобедренный,  KE = KF.  Значит, параллелограмм EKEL – ромб, и KL – серединный перпендикуляр к EF. Поэтому KL проходит через O.

Источники и прецеденты использования