Задача 64414

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы:

Условие

Докажите, что прямая Эйлера треугольника ABC (см. задачу 55595) проходит через центр окружности девяти точек (см. задачу 52511).

Решение

Окружность девяти точек проходит через середины сторон треугольника ABC и потому получается из описанной окружности этого треугольника гомотетией с коэффициентом –½ с центром в точке M пересечения медиан. Поскольку точка M и центр описанной окружности лежат на прямой Эйлера, там же лежит и центр окружности девяти точек.