|
|
 |
Условие
Петя нарисовал на плоскости квадрат, разделил на 64 одинаковых квадратика и раскрасил их в шахматном порядке в чёрный и белый цвета. После этого он загадал точку, находящуюся строго внутри одного из этих квадратиков. Вася может начертить на плоскости любую замкнутую ломаную без самопересечений и получить ответ на вопрос, находится ли загаданная точка строго внутри ломаной или нет. За какое наименьшее количество таких вопросов Вася может узнать, какого цвета загаданная точка – белого или чёрного?
Решение
Чтобы определить цвет точки за один вопрос, нужна ломаная, по отношению к которой все квадратики одного цвета лежат внутри, а другого – снаружи. Но тогда она содержит все отрезки, разделяющие соседние квадратики, и значит, самопересекается.
Покажем, как отгадать цвет точки за два вопроса. Построим ломаную, внутрь которой попадут все нечётные горизонтали квадрата и только они (см. рис.).
Тогда первым вопросом мы узнаем чётность горизонтали, содержащей загаданную точку. Аналогичным вторым вопросом узнаем чётность содержащей её вертикали. Осталось заметить, что цвет квадратика определяется чётностью суммы его "координат".
Ответ
За два вопроса.
Замечания
1. Можно ограничиться ломаными, не выходящими за пределы Петиного квадрата (см. рисунок). Видно, что каждый чёрный квадратик находится внутри ровно одной из ломаных, а каждый белый – либо внутри обеих, либо снаружи обеих.
2. Баллы: 8-9 кл. – 7, 10-11 кл. – 5.
