ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64453
Темы:    [ Обыкновенные дроби ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Число    представили в виде несократимой дроби.
Докажите, что если  3n + 1  – простое число, то числитель получившейся дроби делится на  3n + 1.


Решение

  Добавим к нашей сумме S сумму    и вычтем равную сумму  .  Тогда

      .

  Если  3n + 1  – простое, то n чётно, и мы можем сгруппировать слагаемые парами: первое с последним, второе с предпоследним и т.д. После приведения к общему знаменателю каждой пары все числители станут равными  3n + 1.  Значит, числитель суммы всех этих дробей делится на простое число  3n + 1,  а знаменатель, очевидно, не делится.

Замечания

10 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 35
Дата 2013/2014
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .