Задача 64458

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Ивлев Ф.

Дан неравнобедренный треугольник ABC. Точка O – центр его описанной окружности, а точка K – центр описанной окружности ω треугольника BCO. Высота треугольника ABC, проведенная из точки A, пересекает окружность ω в точке P. Прямая PK пересекает описанную окружность треугольника ABC в точках E и F. Докажите, что один из отрезков EP и FP равен отрезку PA.

Решение

Так как точки O, K лежат на серединном перпендикуляре к BC, то  OK || AP.  Поэтому  ∠OPK = ∠POK = ∠OPA.  Значит, точка A', симметричная A относительно OP, лежит на прямой PK. При этом  OA' = OA,  то есть A' лежит на описанной окружности треугольника ABC (см. рис.) и, следовательно, совпадает с одной из точек E, F.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2013
год
Год	2013
задача
Номер	4