ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64458
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Ивлев Ф.

Дан неравнобедренный треугольник ABC. Точка O – центр его описанной окружности, а точка K – центр описанной окружности ω треугольника BCO. Высота треугольника ABC, проведенная из точки A, пересекает окружность ω в точке P. Прямая PK пересекает описанную окружность треугольника ABC в точках E и F. Докажите, что один из отрезков EP и FP равен отрезку PA.


Решение

Так как точки O, K лежат на серединном перпендикуляре к BC, то  OK || AP.  Поэтому  ∠OPK = ∠POK = ∠OPA.  Значит, точка A', симметричная A относительно OP, лежит на прямой PK. При этом  OA' = OA,  то есть A' лежит на описанной окружности треугольника ABC (см. рис.) и, следовательно, совпадает с одной из точек E, F.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2013
год
Год 2013
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .