ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64459
Темы:    [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точка внутри выпуклого четырёхугольника соединена с вершинами. Получились четыре равных треугольника.
Верно ли, что четырёхугольник – ромб?


Решение

  Пусть ABCD и O – четырёхугольник и точка из условия. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Так как треугольники ABO и CBO равны, то углы BAO и BCO равны, как лежащие против BO. Аналогично  ∠DAO = ∠DCO,  откуда  ∠BAD = ∠BCD.  Точно так же равны и два других противоположных угла четырёхугольника, поэтому сумма любых двух соседних углов равна π, то есть ABCD – параллелограмм.
  При точке O найдутся два соседних угла, сумма которых не меньше π, скажем угол AOB и угол COB. Второй из них равен одному из углов треугольника AOB. Это может быть только угол AOB, так как его сумма с любым другим углом треугольника AOB меньше π. В равных треугольниках AOB и COB против равных углов лежат равные стороны, поэтому  AB = BC  и, значит, ABCD – ромб.


Ответ

Верно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2013
год
Год 2013
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .