ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64486
Темы:    [ Четырехугольник (неравенства) ]
[ Параллелограмм Вариньона ]
[ Площадь четырехугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан четырёхугольник АВСD площади 1. Из его внутренней точки О опущены перпендикуляры OK, OL, OM и ON на стороны АВ, ВС, CD и DA соответственно. Известно, что  AK ≥ KB,  BL ≥ LC,  CM ≥ MD  и  DN ≥ NA.  Найдите площадь четырёхугольника KLMN.


Решение

  Из двух наклонных, проведённых из одной точки больше та, у которой проекция больше. Поэтому из неравенств, заданных в условии задачи, следует, что  ОА ≥ OB ≥ OC ≥ OD ≥ OA.  Значит,  ОА = OB = OC = OD,  то есть О – центр окружности, описанной около четырёхугольника АВСD (см. рис.). Поэтому точки K, L, M и N являются серединами сторон АВСD. Следовательно, согласно задаче 56493 а)  SKLMN = ½ SABCD = ½.


Ответ

0,5.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2013/14
класс
Класс 11
задача
Номер 11.3.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .