ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56493
Темы:    [ Параллелограмм Вариньона ]
[ Отношение площадей подобных треугольников ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что площадь четырехугольника, образованного серединами сторон выпуклого четырехугольника ABCD, равна половине площади ABCD.
б) Докажите, что если диагонали выпуклого четырехугольника равны, то его площадь равна произведению длин отрезков, соединяющих середины противоположных сторон.

Решение

Пусть E, F, G и H — середины сторон AB, BC, CD и DA.
а) Ясно, что SAEH + SCFG = $ {\frac{S_{ABD}}{4}}$ + $ {\frac{S_{CBD}}{4}}$ = $ {\frac{S_{ABCD}}{4}}$. Аналогично SBEF + SDGH = $ {\frac{S_{ABCD}}{4}}$. Поэтому SEFGH = SABCD - $ {\frac{S_{ABCD}}{4}}$ - $ {\frac{S_{ABCD}}{4}}$ = $ {\frac{S_{ABCD}}{2}}$.
б) Так как AC = BD, то EFGH — ромб (задача 1.2). Согласно задаче a)  SABCD = 2SEFGH = EG . FH.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 1
Название Подобные треугольники
Тема Подобные треугольники
параграф
Номер 3
Название Отношение площадей подобных треугольников
Тема Подобные треугольники (прочее)
задача
Номер 01.037

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .