В треугольнике ABC биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D; прямая, проведённая через точку D параллельно CA, пересекает сторону AB в точке E; прямая, проведённая через точку E параллельно BC, пересекает сторону AC в F. Докажите, что  EA = FC.

   Решение

Темы:    [ Параллелограмм Вариньона ] [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что площадь четырехугольника, образованного серединами сторон выпуклого четырехугольника ABCD, равна половине площади ABCD.
б) Докажите, что если диагонали выпуклого четырехугольника равны, то его площадь равна произведению длин отрезков, соединяющих середины противоположных сторон.

Решение

Пусть E, F, G и H — середины сторон AB, BC, CD и DA.
а) Ясно, что S_AEH + S_CFG = + = . Аналогично S_BEF + S_DGH = . Поэтому S_EFGH = S_ABCD - - = .
б) Так как AC = BD, то EFGH — ромб (задача 1.2). Согласно задаче a)  S_ABCD = 2S_EFGH = EG ^. FH.

Источники и прецеденты использования