Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что площадь ограниченного ими шестиугольника равна половине площади исходного треугольника.

   Решение

Темы:    [ Степень вершины ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Среди n рыцарей каждые двое – либо друзья, либо враги. У каждого из рыцарей ровно три врага, причём враги его друзей являются его врагами.
При каких n такое возможно?

Решение

  Из условия следует, что рыцарей – не менее четырёх. Заметим, что у рыцаря не может быть более двух друзей, иначе найдутся четыре рыцаря, у которых есть общий враг, но тогда у этого врага будет не менее четырёх врагов, что противоречит условию. Значит, у каждого рыцаря не более двух друзей и ровно три врага, следовательно, всего рыцарей – не более шести.
  Так как у каждого рыцаря по три врага, то число рыцарей чётно (см. задачу 87972 б).
  Примеры. Четыре рыцаря, каждый враждует с остальными тремя.
  Шесть рыцарей разбиваем на две тройки: каждый рыцарь дружит с рыцарями из своей тройки и враждует с рыцарями из другой.

Ответ

n = 4  или  n = 6.

Источники и прецеденты использования