Задача 64492

Темы:    [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Верно ли, что в любом треугольнике точка пересечения медиан лежит внутри треугольника, образованного основаниями биссектрис?

Решение

Приведём один из возможных контрпримеров. Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС, в котором  АВ =ВС = 3,  АС = 1  (см. рис.). Пусть ВН – его высота, АD и CE – биссектрисы, M – точка пересечения медиан. Тогда  BE : EA = BD : DC = AB : AC = 3 : 1.

Пусть отрезок DE пересекает ВН в точке K, тогда BK : KH = 3 : 1  (по теореме о пропорциональных отрезках). А  BM : MH = 2 : 1.  Следовательно, точка G лежит вне треугольника DEH, образованного основаниями биссектрис.

Ответ

Неверно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2013/14
класс
Класс	11
задача
Номер	11.5.2