|
|
 |
Условие
Три плоскости разрезают параллелепипед на 8 шестигранников, все грани которых – четырёхугольники (каждая плоскость пересекает свои две пары противоположных граней параллелепипеда и не пересекает две оставшиеся грани). Известно, что вокруг одного из этих шестигранников можно описать сферу. Докажите, что и вокруг каждого из них можно описать сферу.
Решение
Нам потребуются два почти очевидных утверждения.
1. Если четырёхугольник вписан, то точка в пространстве, равноудалённая от трёх его вершин, равноудалена и от всех четырёх.
2. Пусть отрезок, соединяющий точки на боковых сторонах трапеции (или параллелограмма), делит её на два четырёхугольника. Если один из них вписанный, то и второй вписанный.
(Действительно, из условия следует, что соответствующие углы этих четырёхугольников равны.)
Для решения задачи достаточно доказать, что шестигранник, соседний с вписанным, является вписанным.
Пусть ABCD – нижняя грань параллелепипеда, AEFHKLMN и EBGFLPQM – соседние шестигранники (см. рисунок), первый из которых вписанный. Тогда все его грани – вписанные четырёхугольники.
Рассмотрим центр O описанной сферы тетраэдра BEGP. Он равноудален от точек B, E, G, P. Четырёхугольники BEFG и BELP вписанные (поскольку ABGH и ABPK – трапеции), значит, к этому набору равноудалённых от O точек добавляются F и L. Теперь к этому набору можно добавить точку M (четырёхугольник EFML вписан) и наконец точку Q (четырёхугольник PQML вписан, поскольку KPQN – трапеция). Итак, O равноудалена от всех вершин шестигранника EBGFLPQM, то есть является центром описанной вокруг него сферы.
Замечания
6 баллов
