Задача 64575

Темы:    [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Условие

Автор: Бакаев Е.В.

Два одинаковых прямоугольных треугольника из бумаги удалось положить один на другой так, как показано на рисунке (при этом вершина прямого угла одного попала на сторону другого). Докажите, что заштрихованный треугольник равносторонний.

Решение

В треугольнике ABC углы A и C равны (как соответствующие углы равных бумажных треугольников); значит, его стороны AB и BC равны. Но и его стороны AB и AC равны (как соответствующие стороны равных бумажных треугольников); значит, треугольник ABC равносторонний.

Замечания

1. В решении не используется то, что бумажные треугольники имеют прямой угол, важно только то, что они равны.
2. Разумеется, так можно расположить не любые треугольники, а только треугольники с углом 60°.

3. 4 балла.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Математический праздник
год
Год	2014
класс
Класс	7
задача
Номер	2