Задача 64592

Темы:    [ Выпуклые многоугольники ] [ Площадь и ортогональная проекция ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Автор: Звонкин Д.

На плоскости нарисованы два выпуклых многоугольника P и Q. Для каждой стороны многоугольника P многоугольник Q можно зажать между двумя прямыми, параллельными этой стороне. Обозначим через h расстояние между этими прямыми, а через l – длину стороны и вычислим произведение lh. Просуммировав такие произведения по всем сторонам P, получим некоторую величину  (P, Q).  Докажите, что  (P, Q) = (Q, P).

Решение

Пусть a_i , b_j  – векторы сторон многоугольников P и Q соответственно. Расстояние h_i, вычисленное, как указано в условии, для стороны a_i многоугольника P, равно, очевидно, длине проекции Q на прямую, перпендикулярную a_i, то есть половине суммы проекций сторон b_j на эту прямую. Умножив на
l_i = |a_i|,  получим     где S_ij – площадь параллелограмма П_ij, построенного на векторах a_i и b_j. Поэтому     Вычисляя
(Q, P),  мы получим тот же результат (с заменой порядка суммирования).

Замечания

1. 8 баллов.

2. Задача также предлагалась в Задачнике "Кванта" ("Квант", 2008, №3, зад. М2094).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	29
Дата	2007/2008
вариант
Вариант	осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	6