ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64592
Темы:    [ Выпуклые многоугольники ]
[ Площадь и ортогональная проекция ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Звонкин Д.

На плоскости нарисованы два выпуклых многоугольника P и Q. Для каждой стороны многоугольника P многоугольник Q можно зажать между двумя прямыми, параллельными этой стороне. Обозначим через h расстояние между этими прямыми, а через l – длину стороны и вычислим произведение lh. Просуммировав такие произведения по всем сторонам P, получим некоторую величину  (P, Q).  Докажите, что  (P, Q) = (Q, P).


Решение

Пусть ai , bj  – векторы сторон многоугольников P и Q соответственно. Расстояние hi, вычисленное, как указано в условии, для стороны ai многоугольника P, равно, очевидно, длине проекции Q на прямую, перпендикулярную ai, то есть половине суммы проекций сторон bj на эту прямую. Умножив на
li = |ai|,  получим     где Sij – площадь параллелограмма Пij, построенного на векторах ai и bj. Поэтому     Вычисляя
(Q, P),  мы получим тот же результат (с заменой порядка суммирования).

Замечания

1. 8 баллов.

2. Задача также предлагалась в Задачнике "Кванта" ("Квант", 2008, №3, зад. М2094).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 29
Дата 2007/2008
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .