Задача 64601

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Диаметр, основные свойства ] [ Средняя линия треугольника ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

В треугольнике ABC угол A прямой, M – середина BC, AH – высота. Прямая, проходящая через точку M перпендикулярно AC, вторично пересекает описанную окружность треугольника AMC в точке P. Докажите, что отрезок BP делит отрезок AH пополам.

Решение

MP – диаметр указанной окружности (он перпендикулярен хорде AC и делит её пополам). Значит, угол BCP прямой, то есть  PC || AH.  Продолжим CP и BA до пересечения в точке N. MP – средняя линия треугольника BCN, то есть прямая AP делит сторону NC пополам. Следовательно, она делит пополам и сторону AH подобного треугольника BHA.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	29
Дата	2007/2008
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	3