ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64601
Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Диаметр, основные свойства ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC угол A прямой, M – середина BC, H – основание высоты, проведённой из вершины A. Прямая, проходящая через точку M перпендикулярно AC, вторично пересекает описанную окружность треугольника AMC в точке P. Докажите, что отрезок BP делит отрезок AH пополам.


Решение

MP – диаметр указанной окружности (он перпендикулярен хорде AC и делит её пополам). Значит, угол BCP прямой, то есть  PC || AH.  Продолжим CP и BA до пересечения в точке N. MP – средняя линия треугольника BCN, то есть прямая AP делит сторону NC пополам. Следовательно, она делит пополам и сторону AH подобного треугольника BHA.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 29
Дата 2007/2008
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .