Задача 64604

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Число N является произведением двух последовательных натуральных чисел. Докажите, что
  а) можно приписать к этому числу справа две цифры так, чтобы получился точный квадрат;
  б) если  N > 12,  это можно сделать единственным способом.

Решение

а) Припишем 25 к числу  N = n(n + 1).  Получится число  100n(n + 1) + 25 = (10n + 5)².

б) Если  N > 12,  то  n ≥ 4.  При этом  (10n + 6)² – (10n + 5)² > (10n + 5)² – (10n + 4)² = 20n + 9 > 80.  Значит,  (10n + 4)² < 100N,  (10n + 6)² > 100(N + 1),  то есть даже "соседние" с  (10n + 5)²  квадраты не попадают в нужную сотню.

Замечания

баллы: 2 + 2

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	29
Дата	2007/2008
вариант
Вариант	весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер	1