|
|
 |
Условие
В выпуклом четырёхугольнике ABCD нет параллельных сторон. Углы, образованные сторонами четырёхугольника с диагональю AC, равны (в каком-то порядке) 16°, 19°, 55° и 55°. Каким может быть острый угол между диагоналями AC и BD?
Решение 1
Пусть E – точка пересечения диагоналей. Достаточно рассмотреть два варианта расположения углов.
1) ∠BAC = ∠DAC = 55°, ∠BCA = 19°, ∠DCA = 16°. Пусть I – точка пересечения биссектрис треугольника ABD. Четырёхугольник BCDI вписанный, (поскольку ∠BID + ∠BСD = 90° + ½ ∠BAD + ∠BCA + ∠DCA = 145° + 35° = 180°). Поэтому ∠DBI = ∠DCI = ∠DCA = 16°. Значит, ∠ABD = 32°,
и ∠AED = ∠ABD + ∠BAC = 87°.
2) ∠BAC = ∠BCA = 55°, ∠DAC = 19°, ∠DCA = 16°. Тогда ∠ADC = 145°, ∠ABC = 70°.
Рассмотрим описанную окружность треугольника ADC. Центр этой окружности является вершиной равнобедренного треугольника с основанием AC и углом при вершине, равным 2·(180° – 145°) = 70°, то есть совпадает с точкой B. Поэтому ∠ABD = 2 ∠DCA = 32°, и ∠AED = ∠ABD + ∠BAC = 87°.
Решение 2
Рассматриваем те же варианты, что в решении 1.
1) Имеем: ∠ABC = 106°, ∠ADC = 109°. По теореме синусов
В треугольнике BCD С другой стороны, ∠CDB + ∠CAB = 180° – ∠BCD = 145° = 71° + 74°.
В силу монотонности функции на интервале (0°, 90°) ∠CDB = 71°, ∠CBD = 74°. Следовательно, угол между диагоналями равен
71° + 16° = 87°.
2) Так как AB = BC, то по теореме синусов то есть
С другой стороны, ∠CDB + ∠ADB = 145° = 71° + 74°. Следовательно, ∠CDB = 71°, ∠ADB = 74°, а угол между диагоналями равен
71° + 16° = 87°.
Ответ
87°.
Замечания
1. 8 баллов.
2. Ср. с задачей 64614.
