ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64610
Темы:    [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Углы между биссектрисами ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD нет параллельных сторон. Углы, образованные сторонами четырёхугольника с диагональю AC, равны (в каком-то порядке) 16°, 19°, 55° и 55°. Каким может быть острый угол между диагоналями AC и BD?


Решение 1

  Пусть E – точка пересечения диагоналей. Достаточно рассмотреть два варианта расположения углов.
  1)  ∠BAC = ∠DAC = 55°,  ∠BCA = 19°,  ∠DCA = 16°.  Пусть I – точка пересечения биссектрис треугольника ABD. Четырёхугольник BCDI вписанный, (поскольку  ∠BID + ∠BСD = 90° + ½ ∠BAD + ∠BCA + ∠DCA = 145° + 35° = 180°).  Поэтому  ∠DBI = ∠DCI = ∠DCA = 16°.  Значит,  ∠ABD = 32°,
и  ∠AED = ∠ABD + ∠BAC = 87°.
  2)  ∠BAC = ∠BCA = 55°,  ∠DAC = 19°,  ∠DCA = 16°.  Тогда  ∠ADC = 145°,  ∠ABC = 70°.
  Рассмотрим описанную окружность треугольника ADC. Центр этой окружности является вершиной равнобедренного треугольника с основанием AC и углом при вершине, равным  2·(180° – 145°) = 70°,  то есть совпадает с точкой B. Поэтому  ∠ABD = 2 ∠DCA = 32°,  и  ∠AED = ∠ABD + ∠BAC = 87°.


Решение 2

  Рассматриваем те же варианты, что в решении 1.
  1) Имеем:  ∠ABC = 106°,  ∠ADC = 109°.  По теореме синусов  

  В треугольнике BCD      С другой стороны,  ∠CDB + ∠CAB = 180° – ∠BCD = 145° = 71° + 74°.

В силу монотонности функции     на интервале  (0°, 90°)  ∠CDB = 71°,  ∠CBD = 74°.  Следовательно, угол между диагоналями равен
71° + 16° = 87°.
  2) Так как  AB = BC,  то по теореме синусов     то есть  
  С другой стороны,  ∠CDB + ∠ADB = 145° = 71° + 74°.  Следовательно,  ∠CDB = 71°,  ∠ADB = 74°,  а угол между диагоналями равен
71° + 16° = 87°.


Ответ

87°.

Замечания

1. 8 баллов.

2. Ср. с задачей 64614.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 29
Дата 2007/2008
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .