|
|
 |
Условие
Петя и Вася нарисовали по четырёхугольнику без параллельных сторон. Каждый провёл в своём четырёхугольнике одну из диагоналей и вычислил углы, образованные этой диагональю со сторонами своего четырёхугольника. Петя получил числа α, α, β и γ (в некотором порядке), и Вася – тоже эти числа (возможно, в другом порядке). Докажите, что диагонали четырёхугольника Пети пересекаются под теми же углами, что и диагонали четырёхугольника Васи.
Решение 1
Нетрудно проверить, что существуют только два принципиально разных четырёхугольника, удовлетворяющих условию (остальные им подобны). Пусть в четырёхугольнике ABCD ∠CAB = ∠CAD = α, ∠BCA = β, ∠DCA = γ, а в четырёхугольнике AECF ∠ACE = ∠CAE = α, ∠ACF = β, ∠CAF = γ (точка E лежит на прямой AD, точка F – на прямой BC). Тогда AB || EC, AF || DC. По теореме Паппа (см. задачу 56467 а), применённой к тройкам точек A, D, E и C, F, B диагонали DB и EF также параллельны и, следовательно, составляют равные углы с общей диагональю AC.
Решение 2
Достаточно рассмотреть два варианта расположения углов, образованных диагональю AC со сторонами четырёхугольника ABCD.
1) ∠BAC = ∠DAC = α, ∠BCA = β, ∠DCA = γ. Тогда ∠ABC = π – (α + β), ∠ADC = π – (α + γ). По теореме синусов
В треугольнике BCD С другой стороны, ∠CDB + ∠CAB = π – (β + γ) = φ. В силу монотонности функции
на интервале (0, π/2) полученная система имеет единственное решение ∠CDB = ψ, ∠CBD = χ. Один из углов между диагоналями равен ∠CDB + ∠DCA = ψ + χ.
2) ∠BAC = ∠BCA = α, ∠DAC = β, ∠DCA = γ. Тогда AB = BC. По теореме синусов то есть
С другой стороны, ∠CDB + ∠ADB = ∠ADC = φ – (β + γ) = φ. Мы получили ту же систему, что и в первом случае. Следовательно, ∠CDB = ψ,
∠ADB = χ. И снова угол между диагоналями равен ∠CDB + ∠DCA = ψ + χ.
Замечания
7 баллов
