ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64614
Темы:    [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]
[ Проективная геометрия (прочее) ]
[ Системы точек и отрезков (прочее) ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Петя и Вася нарисовали по четырёхугольнику без параллельных сторон. Каждый провёл в своём четырёхугольнике одну из диагоналей и вычислил углы, образованные этой диагональю со сторонами своего четырёхугольника. Петя получил числа α, α, β и γ (в некотором порядке), и Вася – тоже эти числа (возможно, в другом порядке). Докажите, что диагонали четырёхугольника Пети пересекаются под теми же углами, что и диагонали четырёхугольника Васи.


Решение 1

  Нетрудно проверить, что существуют только два принципиально разных четырёхугольника, удовлетворяющих условию (остальные им подобны). Пусть в четырёхугольнике ABCD  ∠CAB = ∠CAD = α,  ∠BCA = β,  ∠DCA = γ,  а в четырёхугольнике AECF  ∠ACE = ∠CAE = α,  ∠ACF = β,  ∠CAF = γ  (точка E лежит на прямой AD, точка F – на прямой BC). Тогда  AB || EC,  AF || DC.  По теореме Паппа (см. задачу 56467 а), применённой к тройкам точек A, D, E и C, F, B диагонали DB и EF также параллельны и, следовательно, составляют равные углы с общей диагональю AC.


Решение 2

  Достаточно рассмотреть два варианта расположения углов, образованных диагональю AC со сторонами четырёхугольника ABCD.
  1)  ∠BAC = ∠DAC = α,  ∠BCA = β,  ∠DCA = γ.  Тогда  ∠ABC = π – (α + β),  ∠ADC = π – (α + γ).  По теореме синусов  

  В треугольнике BCD     С другой стороны,  ∠CDB + ∠CAB = π – (β + γ) = φ.  В силу монотонности функции     на интервале  (0, π/2)  полученная система имеет единственное решение  ∠CDB = ψ,  ∠CBD = χ.  Один из углов между диагоналями равен  ∠CDB + ∠DCA = ψ + χ.
  2)  ∠BAC = ∠BCA = α,  ∠DAC = β,  ∠DCA = γ.  Тогда  AB = BC.  По теореме синусов     то есть  
  С другой стороны,  ∠CDB + ∠ADB = ∠ADC = φ – (β + γ) = φ.  Мы получили ту же систему, что и в первом случае. Следовательно,  ∠CDB = ψ,
ADB = χ.  И снова угол между диагоналями равен  ∠CDB + ∠DCA = ψ + χ.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 29
Дата 2007/2008
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .