ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      



Задача 64886

Темы:   [ Проективная геометрия (прочее) ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Касающиеся сферы и инверсия ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
Сложность: 4+
Классы: 11

Дана тригармоническая четвёрка точек A, B, C и D (то есть  AB·CD = AC·BD = AD·BC).  Пусть A1 – такая отличная от A точка, что четвёрка точек A1, B, C и D тригармоническая. Точки B1, C1 и D1 определяются аналогично. Докажите, что
  a) A, B, C1, D1 лежат на одной окружности;
  б) точки A1, B1, C1, D1 образуют тригармоническую четвёрку.

Прислать комментарий     Решение

Задача 67354

Тема:   [ Проективная геометрия (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Хорда $PQ$ окружности, описанной около треугольника $ABC$, пересекает стороны $BC$, $AC$ в точках $A'$, $B'$ соответственно. Касательные к окружности в точках $A$ и $B$ пересекаются в точке $X$, а касательные в точках $P$ и $Q$ – в точке $Y$. Прямая $XY$ пересекает $AB$ в точке $C'$. Докажите, что прямые $AA'$, $BB'$ и $CC'$ пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66790

Темы:   [ Проективная геометрия (прочее) ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=AC$) проведена высота $AA_0$. Окружность $\gamma$ с центром в середине $AA_0$ касается прямых $AB$ и $AC$. Из точки $X$ прямой $BC$ проведены две касательные к $\gamma$. Докажите, что эти касательные высекают на прямых $AB$ и $AC$ равные отрезки.
Прислать комментарий     Решение


Задача 64614

Темы:   [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]
[ Проективная геометрия (прочее) ]
[ Системы точек и отрезков (прочее) ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Петя и Вася нарисовали по четырёхугольнику без параллельных сторон. Каждый провёл в своём четырёхугольнике одну из диагоналей и вычислил углы, образованные этой диагональю со сторонами своего четырёхугольника. Петя получил числа α, α, β и γ (в некотором порядке), и Вася – тоже эти числа (возможно, в другом порядке). Докажите, что диагонали четырёхугольника Пети пересекаются под теми же углами, что и диагонали четырёхугольника Васи.

Прислать комментарий     Решение

Задача 67371

Темы:   [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Проективная геометрия (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Вписанная в треугольник $ABC$ окружность с центром $I$ касается его сторон $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Вневписанная окружность с центром $J$ касается стороны $AC$ в точке $B_2$ и продолжений сторон $AB$ и $BC$ в точках $C_2$ и $A_2$ соответственно. Пусть прямые $IB_2$ и $JB_1$ пересекаются в точке $X$, прямые $IC_2$ и $JC_1$ – в точке $Y$, прямые $IA_2$ и $JA_1$ – в точке $Z$. Докажите, что если одна из точек $X$, $Y$, $Z$ лежит на вписанной окружности, то и две другие тоже.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .