Каталог по темам

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]

Задача 64886

Темы:	[	Проективная геометрия (прочее)	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	Касающиеся сферы и инверсия	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 11

Автор: Акопян А.В.

Дана тригармоническая четвёрка точек A, B, C и D (то есть AB·CD = AC·BD = AD·BC). Пусть A₁ – такая отличная от A точка, что четвёрка точек A₁, B, C и D тригармоническая. Точки B₁, C₁ и D₁ определяются аналогично. Докажите, что
a) A, B, C₁, D₁ лежат на одной окружности;
б) точки A₁, B₁, C₁, D₁ образуют тригармоническую четвёрку.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64614

Темы:	[	Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения.	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]
	[	Системы точек и отрезков (прочее)	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Петя и Вася нарисовали по четырёхугольнику без параллельных сторон. Каждый провёл в своём четырёхугольнике одну из диагоналей и вычислил углы, образованные этой диагональю со сторонами своего четырёхугольника. Петя получил числа α, α, β и γ (в некотором порядке), и Вася – тоже эти числа (возможно, в другом порядке). Докажите, что диагонали четырёхугольника Пети пересекаются под теми же углами, что и диагонали четырёхугольника Васи.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56467

Темы:	[	Отрезки, заключенные между параллельными прямыми	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

а) Точки A, B и C лежат на одной прямой, а точки A₁, B₁ и C₁ – на другой. Докажите, что если AB₁ || BA₁ и AC₁ || CA₁, то BC₁ || CB₁.

б) Точки A, B и C лежат на одной прямой, а точки A₁, B₁ и C₁ таковы, что AB₁ || BA₁, AC₁ || CA₁ и BC₁ || CB₁.
Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98532

Темы:	[	Трапеции (прочее)	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Бугаенко В.О.

В трапеции ABCD на боковой стороне AB дана точка K. Через точку A провели прямую l, параллельную прямой KC, а через точку B – прямую m, параллельную прямой KD. Докажите, что точка пересечения прямых l и m лежит на стороне CD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65047

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Ясинский В.

На окружности с диаметром AC выбрана произвольная точка B, отличная от A и C. Пусть M, N – середины хорд AB, BC, а P, Q – середины меньших дуг, стягиваемых этими хордами. Прямые AQ и BC пересекаются в точке K, а прямые CP и AB – в точке L.
Докажите, что прямые MQ, NP и KL пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]