Страница: 1
2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Дана тригармоническая четвёрка точек A, B, C и D (то есть AB·CD = AC·BD = AD·BC). Пусть A1 – такая отличная от A точка, что четвёрка точек A1, B, C и D тригармоническая. Точки B1, C1 и D1 определяются аналогично. Докажите, что
a) A, B, C1, D1 лежат на одной окружности;
б) точки A1, B1, C1, D1 образуют тригармоническую четвёрку.
|
|
Сложность: 4 Классы: 10,11
|
Петя и Вася нарисовали по четырёхугольнику без параллельных сторон. Каждый провёл в своём четырёхугольнике одну из диагоналей и вычислил углы, образованные этой диагональю со сторонами своего четырёхугольника. Петя получил числа α, α, β и γ (в некотором порядке), и Вася – тоже эти числа (возможно, в другом порядке). Докажите, что диагонали четырёхугольника Пети пересекаются под теми же углами, что и диагонали четырёхугольника Васи.
а) Точки
A, B и
C лежат на одной прямой, а точки
A1,
B1 и
C1 – на другой. Докажите, что если
AB1 ||
BA1 и
AC1 ||
CA1, то
BC1 ||
CB1.
б) Точки A, B и C лежат на одной прямой, а точки A1, B1 и C1 таковы, что
AB1 || BA1, AC1 || CA1 и BC1 || CB1.
Докажите, что точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой.
В трапеции ABCD на боковой стороне AB дана точка K. Через точку A провели прямую l, параллельную прямой KC, а через точку B – прямую m, параллельную прямой KD. Докажите, что точка пересечения прямых l и m лежит на стороне CD.
|
|
Сложность: 4 Классы: 9,10,11
|
На окружности с диаметром AC выбрана произвольная точка B, отличная от A и C. Пусть M, N – середины хорд AB, BC, а P, Q – середины меньших дуг, стягиваемых этими хордами. Прямые AQ и BC пересекаются в точке K, а прямые CP и AB – в точке L.
Докажите, что прямые MQ, NP и KL пересекаются в одной точке.
Страница: 1
2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]