Задача 66790

Темы:    [ Проективная геометрия (прочее) ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Условие

Автор: Кожевников П.А.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=AC$) проведена высота $AA_0$. Окружность $\gamma$ с центром в середине $AA_0$ касается прямых $AB$ и $AC$. Из точки $X$ прямой $BC$ проведены две касательные к $\gamma$. Докажите, что эти касательные высекают на прямых $AB$ и $AC$ равные отрезки.

Решение 1

Рассмотрим случай, когда $X$ лежит на отрезке $BA_0$. Другие случаи разбираются аналогично.

Пусть $B_0$ и $C_0$ – середины $AC$ и $AB$ соответственно, одна из касательных пересекает отрезок $AC_0$ в точке $P$, а другая пересекает отрезок $CB_0$ в точке $Q$.

Применив к описанному четырехугольнику $APXQ$ теорему Ньютона, получим, что середины отрезков $AA_0$, $AX$ и $PQ$ лежат на одной прямой, т.е. середина $R$ отрезка $PQ$ лежит на средней линии $B_0C_0$ треугольника $ABC$.

Пусть точка $S$ симметрична $A$ относительно $R$. Тогда $S$ лежит на $BC$ и $APSQ$ – параллелограмм. Следовательно, $C_0P:A_0S=B_0Q:A_0S$ и $C_0P=B_0Q$.

Пусть теперь одна из касательных пересекает луч $C_0B$ в точке $P'$, а другая – луч $B_0A$ в точке $Q'$. Аналогично получаем, что $C_0P'=B_0Q'$. Следовательно, $PP'=QQ'$, ч.т.д.

Решение 2

Пусть одна из касательных пересекает $AB$ и $AC$ в точках $Y_1$ и $Y_2$, а другая – в точках $Z_1$ и $Z_2$ соответственно. Поскольку соответствие между этими точками проективно, достаточно доказать равенство $Y_1Z_1=Y_2Z_2$ для трех положений точки $X$, т.е. в силу симметрии для какой-нибудь точки, отличной от середины $BC$. При стремлении $X$ к точке $B$ одна из точек $Z_1$, $Y_1$ также стремится к $B$, а другая – к точке $P$ касания $\gamma$ со стороной $AB$. Пусть $Q$ – такая отличная от $A$ точка стороны $AC$, что $BQ$ касается $\gamma$, а $B_0$, $C_0$ – середины сторон $AC$, $AB$ соответственно. Тогда имеем равенство двойных отношений $(B,C_0,P,\infty)=(Q,\infty,A,B_0)$, т.е. $AQ=BP$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2019
Заочный тур
задача
Номер	22 [10-11 кл]