Задача 67131

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Проективная геометрия (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Бродский Д.Ю.

В остроугольном треугольнике $ABC$ точки $O$, $I$ – центры описанной и вписанной окружностей, $P$ – произвольная точка на отрезке $OI$, точки $P_A$, $P_B$ и $P_C$ – вторые точки пересечения прямых $PA$, $PB$ и $PC$ с окружностью $ABC$. Докажите. что биссектрисы углов $BP_AC$, $CP_BA$ и $AP_CB$ пересекаются в одной точке, лежащей на прямой $OI$.

Решение

Заметим, что для любой точки $P$ биссектриса угла $BP_AC$ вторично пересекает описанную окружность в фиксированной точке – середине дуги $BAC$. Поэтому точка пересечения биссектрисы с прямой $OI$ проективно зависит от $P$. Это же верно для точек пересечения $OI$ с биссектрисами углов $CP_BA$ и $AP_CB$. При этом, когда $P$ совпадает с $I$, все три биссектрисы проходят через $O$, а когда $P$ является одной из точек пересечения прямой $OI$ с окружностью, биссектрисы пересекают $OI$ в той же точке. Значит, для любого положения точки $P$ все биссектрисы пересекают $OI$ в одной и той же точке.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2022
класс
Класс	10
задача
Номер	10.6