|
|
 |
Условие
Дана тригармоническая четвёрка точек A, B, C и D (то есть AB·CD = AC·BD = AD·BC). Пусть A1 – такая отличная от A точка, что четвёрка точек A1, B, C и D тригармоническая. Точки B1, C1 и D1 определяются аналогично. Докажите, что
a) A, B, C1, D1 лежат на одной окружности;
б) точки A1, B1, C1, D1 образуют тригармоническую четвёрку.
Решение
а) Рассмотрим три сферы, касающиеся плоскости в точках A, B, C и друг друга внешним образом. Легко видеть, что, если радиусы этих сфер равны x, y, z, то и т.д. Поэтому две сферы, касающиеся трёх данных и плоскости, будут касаться плоскости в точках D и D1. Таким образом можно построить восемь сфер a, b, c, d, a1, b1, c1, d1, касающихся плоскости в точках A, B, C, D, A1, B1, C1, D1, причём сферы a и a1 касаются b, c, d и т.д.
Сделаем инверсию пространства с центром в точке касания сфер c и d. Тогда эти сферы перейдут в две параллельные плоскости, а исходная плоскость, a и b – в три равных сферы, расположенные между этими плоскостями и попарно касающиеся. Сферы c1 и d1 перейдут в две сферы, касающиеся этих трёх, кроме того каждая из этих сфер касается одной из плоскостей, следовательно, они симметричны относительно плоскости центров трёх остальных сфер. Поэтому образы точек A, B, C1, D1 лежат в одной плоскости, а сами эти точки на одной окружности.
б) Сделаем теперь инверсию в центром в точке D. Тогда сфера d перейдет в плоскость, параллельную плоскости ABC, а сферы a, b, c – в три равные попарно касающиеся сферы. Следовательно, точки их касания с плоскостью будут вершинами правильного треугольника, а точка D1 перейдёт в центр этого треугольника. Образы точек A1, B1, C1 будут образовывать правильный треугольник с тем же центром, то есть четвёрка A1, B1, C1, D1 – тригармоническая.
