Задача 64618

Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

Даны 111 различных натуральных чисел, не превосходящих 500.
Могло ли оказаться, что для каждого из этих чисел его последняя цифра совпадает с последней цифрой суммы всех остальных чисел?

Решение

Пусть это случилось. Обозначим такие числа  a₁, a₂, ..., a₁₁₁,  а их сумму – через S. По условию, для каждого k числа a_k и  S – a_k  оканчиваются одной и той же цифрой. Отсюда следует, что разность этих чисел, равная  S – 2a_k,  делится на 10. Следовательно, при любом k число 2a_k оканчивается последней цифрой суммы S. Это означает, что разность между каждыми двумя числами a_k кратна 5. Итак, все 111 различных чисел a_i должны давать одинаковые остатки от деления на 5. Но среди чисел от 1 до 500 ровно по 100 чисел, дающих фиксированный остаток от деления на 5. Противоречие.

Ответ

Не могло.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2013-2014
этап
	1
Вариант	4
класс
Класс	9
задача
Номер	9.1