|
|
 |
Условие
На доске написано уравнение x³ + *x² + *x + * = 0. Петя и Вася по очереди заменяют звёздочки на рациональные числа: вначале Петя заменяет любую из звёздочек, потом Вася – любую из двух оставшихся, а затем Петя – оставшуюся звёздочку. Верно ли, что при любых действиях Васи Петя сможет получить уравнение, у которого разность каких-то двух корней равна 2014?
Решение
Первый способ. Пусть Петя первым ходом сделает свободный член уравнения нулём. Тогда полученное уравнение будет иметь корень 0; значит, Пете достаточно добиться того, чтобы другим корнем было число t = 2014. Это всегда можно сделать: если после хода Васи получится уравнение
x³ + ax² + *x = 0, то Петя может заменить оставшуюся звёздочку на – t(t + a), а если после хода Васи получится x³ + *x² + bx = 0, то Петя может заменить звёздочку числом – t–1(t² + b). Очевидно, все числа, которые ставит Петя, рациональны.
Второй способ. Пусть Петя первым ходом заменяет звездочку при x на – s², где s = 1007. После хода Васи получается уравнение
x³ + ax² – s²x + * = 0 или x³ + *x² – s²x + c = 0. В первом случае Петя может заменить оставшуюся звездочку на – as², а во втором – на – cs–2.
В любом случае полученное уравнение будет иметь вид x³ + ax² – s²x – as² = 0, то есть числа s и – s будут его корнями; разность между этими числами равна 2014.
Ответ
Верно.
