Выбрано 9 задач 
Убрать все задачи
Плоскость раскрашена в семь цветов. Обязательно
ли найдутся две точки одного цвета, расстояние между
которыми равно 1?
ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C. Докажите, что
c/r 2(1 +
).
Постройте рациональную параметризацию окружности x2 + y2 = 1, проведя прямые
через точку (1, 0).
В треугольнике ABC проведена медиана AM.
Докажите, что
2AM(b + c)cos(
/2).
– разложение натурального числа m на простые множители. Обозначим
Докажите, что aλ(m) ≡ 1 (mod m) для любого целого числа a, взаимно простого с m.
Володя решил стать великим писателем. Для этого он каждой букве русского языка сопоставил слово, содержащее эту букву. Потом написал слово, сопоставленное букве "A". Дальше каждую букву в нем заменил на сопоставленное ей слово (разделяя слова пробелами), потом в получившемся тексте вновь заменил каждую букву на сопоставленное ей слово, и так всего 40 раз. Володин текст начинается так: "РЯД КОРАБЛЕЙ НА ДРЕМЛЮЩИХ МОРЯХ". Докажите, что этот оборот встречается в Володином тексте еще хотя бы раз.
Докажите, что выпуклый пятиугольник ABCDE с равными
сторонами, углы которого удовлетворяют неравенствам
A
B
C
D
E, является правильным.
В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°, AM и CN – его высоты, а Q – середина стороны AC.
Докажите, что треугольник MNQ – равносторонний.
Все клетки квадратной таблицы n×n пронумерованы в некотором порядке числами от 1 до n². Петя делает ходы по следующим правилам. Первым ходом он ставит фишку в любую клетку. Каждым последующим ходом Петя может либо поставить новую фишку на какую-то клетку, либо переставить фишку из клетки с номером a ходом по горизонтали или по вертикали в клетку с номером большим, чем a. Каждый раз, когда фишка попадает в клетку, эта клетка немедленно закрашивается; ставить фишку на закрашенную клетку запрещено. Какое наименьшее количество фишек потребуется Пете, чтобы независимо от исходной нумерации он смог за несколько ходов закрасить все клетки таблицы?
|
|
 |
Условие
Все клетки квадратной таблицы n×n пронумерованы в некотором порядке числами от 1 до n². Петя делает ходы по следующим правилам. Первым ходом он ставит фишку в любую клетку. Каждым последующим ходом Петя может либо поставить новую фишку на какую-то клетку, либо переставить фишку из клетки с номером a ходом по горизонтали или по вертикали в клетку с номером большим, чем a. Каждый раз, когда фишка попадает в клетку, эта клетка немедленно закрашивается; ставить фишку на закрашенную клетку запрещено. Какое наименьшее количество фишек потребуется Пете, чтобы независимо от исходной нумерации он смог за несколько ходов закрасить все клетки таблицы?
Решение
n фишек достаточно. Действительно, на каждую строку хватит одной фишки: можно поставить её в клетку строки с минимальным номером, а затем обойти все клетки строки в порядке возрастания номеров.
Покажем, что меньшего числа фишек может и не хватить. Для этого пронумеруем клетки одной диагонали числами 1, 2, ..., n, а остальные клетки нумеруем произвольно. Тогда одна фишка не сможет побывать на двух клетках этой диагонали: если фишка встала на одну её клеток, то следующим ходом она обязана будет пойти на клетку с номером, большим n, и значит, после этого не сможет вернуться на диагональ. Поскольку на каждой клетке диагонали должна побывать фишка, Пете придётся использовать не менее n фишек.
Ответ
n фишек.
