|
|
 |
Условие
Плоскость α пересекает рёбра AB, BC, CD и DA треугольной пирамиды ABCD в точках K, L, M и N соответственно. Оказалось, что двугранные углы
∠(KLA, KLM), ∠(LMB, LMN), ∠(MNC, MNK) и ∠(NKD, NKL) равны. (Через ∠(PQR, PQS) обозначается двугранный угол при ребре PQ в тетраэдре PQRS.) Докажите, что проекции вершин A, B, C и D на плоскость α лежат на одной окружности.
Решение
Обозначим через A', B', C', D' проекции вершин A, B, C, D на плоскость α. Пусть X – произвольная точка на продолжении отрезка KL за точку K. Тогда
∠(KXA,KXN) = ∠(KLA, KLM) и ∠(KNA, KNX) = ∠(NKD, NKL). По условию эти углы равны; значит, в трёхгранном угле KANX (с вершиной K) двугранные углы при ребрах KN и KX равны между собой. Это означает, что плоскость, проходящая через прямую KA и перпендикулярная плоскости α, – это плоскость симметрии трёхгранного угла KANX. Поэтому точка A' лежит на прямой, содержащей биссектрису угла XKN, то есть на внешней биссектрисе угла NKL.
Аналогично показывается, что A' лежит на внешней биссектрисе угла MNK. Применяя такие же рассуждения для точек B', C', D', получаем, что точки A', B', C', D' – пересечения внешних биссектрис соседних углов четырёхугольника KLMN.
Из треугольника A'KN находим ∠B'A'D' = ∠KA'N = 180° – ∠A'KN – ∠A'NK = (90° – ∠A'KN) + (90° – ∠A'NK) = ½ (∠NKL + ∠MNK). Аналогично получаем, что ∠B'C'D' = ½ (∠KLM + ∠LMN). Таким образом, ∠B'A'D' + ∠B'C'D' = ½ (∠NKL + ∠MNK + ∠KLM + ∠LMN) = 180°, откуда и следует, что четырёхугольник A'B'C'D' – вписанный.
