Задача 64701

Темы:    [ Четырехугольники (прочее) ] [ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Авторы: Берлов С.Л., Прокопенко Д.

В выпуклом четырёхугольнике ABCD лучи AB и DC пересекаются в точке K. На биссектрисе угла AKD нашлась такая точка P, что прямые BP и CP делят пополам отрезки AC и BD соответственно. Докажите, что  AB = CD.

Решение

Поскольку прямые BP и CP являются медианами треугольников ABC и BCD, то точки A и C равноудалены от BP, а B и D – от CP. Это значит, что
S_PAB = S_PBC = S_PCD.  С другой стороны, высоты треугольников PAB и PCD, опущенные из точки P, равны, так как P лежит на биссектрисе; значит, равны и их основания, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2010
класс
Класс	8
задача
Номер	8.3