Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
Построить треугольник по высоте и медиане, выходящим из одной вершины, и радиусу описанного круга.
В ряд выписаны числа 1, 2, 3, ..., n. За один ход разрешается поменять местами любые два числа.
Может ли после 1989 таких операций порядок чисел оказаться исходным?
Квадратный лист бумаги разрезали на шесть кусков в форме выпуклых многоугольников; пять кусков затерялись, остался один кусок в форме правильного восьмиугольника (см. рисунок). Можно ли по одному этому восьмиугольнику восстановить исходный квадрат?
Биссектрисы AA1 и BB1 треугольника ABC пересекаются в точке I. На отрезках A1I и B1I построены как на основаниях равнобедренные треугольники с вершинами A2 и B2, лежащими на прямой AB. Известно, что прямая CI делит отрезок A2B2 пополам. Верно ли, что треугольник ABC – равнобедренный?
|
|
 |
Условие
Биссектрисы AA1 и BB1 треугольника ABC пересекаются в точке I. На отрезках A1I и B1I построены как на основаниях равнобедренные треугольники с вершинами A2 и B2, лежащими на прямой AB. Известно, что прямая CI делит отрезок A2B2 пополам. Верно ли, что треугольник ABC – равнобедренный?
Решение
Покажем, что условию удовлетворяет любой треугольник с углом C, равным 120°. Пусть CC1 – биссектриса угла C. Тогда CA1 – внешняя биссектриса угла ACC1, то есть точка A1 равноудалена от прямых AC и CC1. Но она также равноудалена от прямых AC и AB, поэтому C1A1 – биссектриса угла CC1B.
Значит, точка J, симметричная I относительно C1A1, лежит на прямой AB (см. рис.). Заметим, что
∠AA1C1 = ∠A1C1B – ∠A1AB = ½ (∠CC1B – ∠CAB) = ½ ∠ACC1 = 30°, откуда ∠IA1J = 2∠AA1C1 = 60°. Поскольку в равнобедренном треугольнике IA1J угол равен 60°, он равносторонний, IJ = A1J, и потому A2 совпадает с J. Таким образом, A2C1 = JC1 = IC1. Аналогично, B2C1 = IC1.
Ответ
Неверно.
Замечания
Можно показать, что в треугольнике, удовлетворяющем условию задачи, обязательно либо AC = BC, либо ∠C = 120°.
