Задача 64708

Темы:    [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Правильные многоугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Бакаев Е.В.

Будем называть змейкой ломаную, у которой все углы между соседними звеньями равны, причём для любого некрайнего звена соседние с ним звенья лежат в разных полуплоскостях от этого звена (пример змейки см. на рисунке). Барон Мюнхгаузен заявил, что отметил на плоскости 6 точек и нашёл 6 разных способов соединить их (пятизвенной) змейкой (вершины каждой из змеек – отмеченные точки). Могут ли его слова быть правдой?

Решение

Пример 1. Рассмотрим вершины правильного шестиугольника. Каждая из змеек состоит из двух противоположных сторон шестиугольника и трёх диагоналей; змейки получаются друг из друга поворотами и симметриями шестиугольника.

Пример 2. См. рис.

Ответ

Могут.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2014
Номер	77
класс
Класс	8
задача
Номер	2