ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64709
Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Произведения и факториалы ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Натуральные числа от 1 до 2014 как-то разбили на пары, числа в каждой из пар сложили, а полученные 1007 сумм перемножили.
Мог ли результат оказаться квадратом натурального числа?


Решение

Разбив числа от 7 до 2014 на пары  {7, 2014},  {8, 2013},  ...,  {1010, 1011},  получим чётное число пар с суммой 2021. Числа от 1 до 6 можно разбить так:  {1, 5},  {2, 4},  {3, 6}.  В результате получим произведение  6²·9 = 18².


Ответ

Мог.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2014
Номер 77
класс
Класс 8
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .