Задача 64709

Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Произведения и факториалы ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Хачатурян А.В.

Натуральные числа от 1 до 2014 как-то разбили на пары, числа в каждой из пар сложили, а полученные 1007 сумм перемножили.
Мог ли результат оказаться квадратом натурального числа?

Решение

Разбив числа от 7 до 2014 на пары  {7, 2014},  {8, 2013},  ...,  {1010, 1011},  получим чётное число пар с суммой 2021. Числа от 1 до 6 можно разбить так:  {1, 5},  {2, 4},  {3, 6}.  В результате получим произведение  6²·9 = 18².

Ответ

Мог.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2014
Номер	77
класс
Класс	8
задача
Номер	3