|
|
 |
Условие
Радикалом натурального числа N (обозначается rad(N)) называется произведение всех простых делителей числа N, взятых по одному разу. Например,
rad(120) = 2·3·5 = 30. Существует ли такая тройка попарно взаимно простых натуральных чисел A, B, C, что A + B = C и C > 1000 rad(ABC)?
Решение
Будем искать пример в виде C = 10n, B = 1, A = 10n – 1.
Индукцией по k докажем, что для любого натурального k существует такое натуральное n, что 10n
– 1 кратно 3k+1.
База: 101 – 1 кратно 32.
Шаг индукции. Если 10n – 1 кратно 3k+1, то 103n – 1 = (10n – 1)(102n + 10n + 1) кратно 3k+2, так как 102n + 10n + 1 делится на 3.
Возьмём теперь такое k, что 3k > 10000, и такое n, что 10n – 1
кратно 3k+1. Тогда
Ответ
Существует.
Замечания
1. В доказательстве можно было воспользоваться теоремой Эйлера (см. задачу 60779): так как φ(3k+1) = 2·3k, то 102·3k – 1 кратно 3k+1.
2. Знаменитая ABC-гипотеза (выдвинутая независимо Эстерле и Массером в 1980-х годах) состоит в том, что для любого ε > 0 существует такая константа k, что для любых попарно взаимно простых чисел A, B, C, таких, что A + B = C, имеет место неравенство C < k rad(ABC)1+ε.
Из её справедливости следует целый ряд знаменитых утверждений теории чисел. Например, нетрудно видеть, что если ABC-гипотеза верна, то уравнение Ферма
xn + yn = zn имеет лишь конечное число решений с n > 2.
Приведённая задача состоит, по существу, в том, что формулировку ABC-гипотезы нельзя усилить, заменив 1 + ε на 1.
Больше об ABC-гипотезе и её следствиях можно узнать из видеозаписей лекций Д.О.Орлова и К.Конрада на Летней школе "Современная математика".
