ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64721
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC. Обозначим через M середину стороны AC, а через P – середину отрезка CM. Описанная окружность треугольника ABP пересекает сторону BC во внутренней точке Q. Докажите, что  ∠ABM = ∠MQP.


Решение 1

  Проведем через M прямую, параллельную PQ, до пересечения со стороной BC в точке D (см. рис.).

  Отрезок PQ является средней линией треугольника MDC и делит сторону DC пополам. Следовательно, отрезок MQ – средняя линия треугольника ADC, а значит, параллелен AD. Поэтому  ∠ADM = ∠MQP  (как углы с параллельными сторонами).
  Осталось заметить, что  ∠BAM = 180° – ∠BQP = 180° – ∠BDM,  откуда получаем вписанность четырёхугольника ABDM и, как следствие, равенство углов ABM и ADM.


Решение 2

  Так как четырёхугольник ABQP вписан, то  ∠MAB = ∠PQC  (см. рис.). Кроме того,  CQ·CB = CP·CA = 4CP2 = CM2

.

  Следовательно, CM является касательной к описанной окружности треугольника BMQ. Значит,  ∠BQM = ∠BMA,
и  ∠ABM = 180° – ∠BAM – ∠BMA = 180° – ∠MQB – ∠PQC = ∠MQP.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2014
Номер 77
класс
Класс 10
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .