Задача 64734

Темы:    [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Неравенства для углов треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

Для каждой вершины треугольника ABC нашли угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из этой вершины. Оказалось, что эти углы в вершинах A и B равны друг другу и меньше, чем угол в вершине C. Чему равен угол C треугольника?

Решение

Нетрудно посчитать, что угол между биссектрисой и высотой в вершине X треугольника XYZ равен  ½ |∠Y – ∠Z|. Следовательно, если эти углы в вершинах A и B треугольника ABC равны, то  ∠A – ∠C = ∠B – ∠C  или  ∠A – ∠C = ∠C – ∠B.  В первом случае треугольник равнобедренный, то есть высота и биссектриса из вершины C совпадают, что противоречит условию. Во втором случае  ∠C = ½ (∠A + ∠B) = ½ (180° – ∠C) = 60°.

Ответ

60°.

Замечания

Нетрудно проверить, что условие задачи выполняется в любом неравностороннем треугольнике с углом C, равным 60°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2010
класс
Класс	9
задача
Номер	9.1