|
|
 |
Условие
Два выпуклых многоугольника A1A2...An и B1B2...Bn (n ≥ 4) таковы, что каждая сторона первого больше соответствующей стороны второго.
Может ли оказаться, что каждая диагональ второго больше соответствующей диагонали первого?
Решение
Лемма. Пусть ABC, ABC' – два таких треугольника, что AC > AC', BC > BC'. Тогда CK > C'K для любой точки K отрезка AB.
Доказательство. Из условия следует, что точки A, B, C' лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра к отрезку CC'. Значит, и точка K лежит по ту же сторону, что равносильно искомому неравенству.
Докажем индукцией по n, что ответ на вопрос задачи отрицательный .
База (n = 4). Пусть такие многоугольники нашлись. Можно считать, что . Применив гомотетию (с коэффициентом
) ко второму четырёхугольнику, можно считать, что B1B3 = A1A3, B2B4 ≥ A2A4. Теперь, передвинув второй четырёхугольник, можно также считать, что
B1 = A1, B3 = A3; при этом A1A2 > A1B2, A2A3 > B2A3, A3A4 > A3B4, A4A1 > B4A1. Пусть E – точка пересечения диагоналей A1A3 и A2A4; тогда по лемме A2E > B2E, A4E > B4E и, следовательно, A2A4 = A2E + A4E > B2E + B4E > B2B4. Противоречие.
Шаг индукции. Пусть n ≥ 5. Немного подвигав вершины второго многоугольника, можно добиться того, что все неравенства из задачи сохранятся, но при этом все отношения длин соответствующих диагоналей станут различными. Пусть – максимальное такое отношение. Тогда, применив соответствующую гомотетию (с коэффициентом, меньшим 1) ко второму многоугольнику, мы получим, что A1Ai > B1Bi, но любая другая диагональ первого многоугольника меньше соответствующей диагонали второго. Теперь осталось применить предположение индукции к многоугольникам A1A2...Ai и B1B2...Bi (если i > 3) или AiAi+1...An и BiBi+1...Bn (если i < n – 1).
Ответ
Не может.
