На книжной полке стоят 30 томов энциклопедии в некотором порядке. За одну операцию разрешается менять местами любые два соседних тома. За какое наименьшее число операций можно гарантированно выстроить все тома в правильном порядке (с первого по тридцатый слева направо) независимо от начального положения?

   Решение

Жили-были двадцать шпионов. Каждый из них написал донос на десять своих коллег.
Докажите, что не менее, чем десять пар шпионов донесли друг на друга.

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC  (∠B = 90°)  проведена высота BH. Окружность, вписанная в треугольник ABH, касается сторон AB, AH в точках H₁, B₁ соответственно; окружность, вписанная в треугольник CBH, касается сторон CB, CH в точках H₂, B₂ соответственно. Пусть O – центр описанной окружности треугольника H₁BH₂. Докажите, что  OB₁ = OB₂.

   Решение

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC  (∠B = 90°)  проведена высота BH. Окружность, вписанная в треугольник ABH, касается сторон AB, AH в точках H₁, B₁ соответственно; окружность, вписанная в треугольник CBH, касается сторон CB, CH в точках H₂, B₂ соответственно. Пусть O – центр описанной окружности треугольника H₁BH₂. Докажите, что  OB₁ = OB₂.

Решение

Обозначим  γ = ∠ACB.  Пусть I₁, I₂ – центры вписанных окружностей треугольников ABH, CBH. Из подобия этих треугольников следует, что
I₁H₁ : I₂H₂ = AB : BC = tg γ.  Так как отрезки I₁H₁, I₂H₂ перпендикулярны соответственно AB и BC, то проекции этих отрезков на AC равны  I₁H₁ cos γ  и  I₂H₂ sin γ,  то есть равны друг другу. Тогда, поскольку O – середина H₁H₂, то проекция O на AC совпадает с серединой B₁B₂, что равносильно утверждению задачи.

Источники и прецеденты использования