|
|
 |
Условие
Каждый из двух правильных многогранников P и Q разрезали плоскостью на две части. Одну из частей P и одну из частей Q приложили друг к другу по плоскости разреза. Может ли получиться правильный многогранник, не равный ни одному из исходных, и если да, то сколько у него может быть граней?
Решение
Пусть R – полученный многогранник. Ясно, что часть многогранника P содержит хотя бы одну его вершину A, не лежащую в плоскости разреза. Многогранный угол многогранника P при ней будет также многогранным углом при вершине многогранника R; это означает, что многогранники P и R подобны. Аналогично, Q также подобен им. Более того, если хотя бы одно ребро многогранника P, выходящее из A, не имеет общих точек (даже другой вершины!) с плоскостью разреза, то оно также будет являться ребром в R. Тогда в подобных многогранниках P и R рёбра равны, а следовательно, равны и многогранники, что противоречит условию.
Итак, часть P, вошедшая в R – это пирамида с вершиной A. Аналогично, часть Q, вошедшая в R – это пирамида с вершиной B. Следовательно, не менее половины граней в R примыкает к одной и той же вершине. Это исключает додекаэдр и икосаэдр. Если наши многогранники – кубы, то от P и Q отрезаются треугольные пирамиды, и в итоговом многограннике не больше пяти вершин, что невозможно.
Оставшиеся случаи октаэдра и тетраэдра возможны, как показано на рисунке.
Ответ
Может; 4 или 8 граней.
Замечания
Ср. с задачей 64705.
