ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64752
Темы:    [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
Сложность: 4-
Классы:
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC серединные перпендикуляры к сторонам AB и BC пересекают сторону AC в точках P и Q соответственно, причём точка P лежит на отрезке AQ. Докажите, что описанные окружности треугольников PBC и QBA пересекаются на биссектрисе угла PBQ.


Решение

  Пусть X – точка пересечения описанных окружностей треугольников PBC и QBA, а  ∠QBC = ∠BCQ = α  (см. рис.). Тогда  ∠AQB = 2α. Из равенства вписанных углов, опирающихся на одну дугу, получим, что  ∠PXB = ∠PCB = α  и  ∠AXB = ∠AQB = 2α.  Следовательно, XP – биссектриса угла X в треугольнике AXB.
  Докажем, что точки X, P и K лежат на одной прямой.

  Первый способ. Серединный перпендикуляр KP к стороне AB и биссектриса XP угла X кроме общей точки P имеют ещё одну общую точку: середину дуги AB описанной окружности треугольника AXB. Следовательно, эти прямые совпадают.

  Второй способ. Рассмотрим отдельно треугольник AXB (см. рис.).

В треугольниках AXP и BXP равны две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон. Следовательно, либо эти треугольники равны, либо  ∠PAX + ∠PBX = 180°.  Второй случай невозможен, поскольку тогда сумма углов треугольника AXB будет больше 180°. Следовательно,  AX = XB,  то есть X лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB.

  Аналогично можно доказать, что точки X, Q и L лежат на одной прямой.
  Из доказанного следует, что  AX = XB = XC,  то есть  ∠PBX = ∠XCA = ∠XAC = ∠QBX,  поэтому BX – биссектриса угла PBQ.

Замечания

Заметим, что X – центр описанной окружности треугольника ABC, а также центр вневписанной окружности треугольника PBQ. Каждый из этих фактов даёт другой способ решения: можно определить точку X одни из указанных способов и затем доказать, что она принадлежит обеим окружностям из условия.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 12 (2014 год)
Дата 2014-04-12
класс
Класс 8-9 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .