ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64757
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Углы между биссектрисами ]
Сложность: 4-
Классы:
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Биссектрисы AA1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке I. Описанные окружности треугольников AIC1 и CIA1 повторно пересекают дуги AC и BC (не содержащие точек B и A соответственно) описанной окружности треугольника ABC в точках C2 и A2 соответственно. Докажите, что прямые A1A2 и C1C2 пересекаются на описанной окружности треугольника ABC.


Решение

  Пусть X – точка пересечения прямой C1C2 и описанной окружности ω треугольника ABC (см. рис.).

  Из равенства вписанных углов, опирающихся на одну дугу, следует, что  ∠AC2X = ∠AC2C1 = ∠AIC1 = 90° – ½ ∠B (см. задачу 55448). Поскольку
AC2C = 180° – ∠B,  то  ∠AC2X = ∠CC2X,  то есть X – середина дуги AC.
  То, что прямая A1A2 также пересекает ω в середине дуги ABC, доказывается аналогично.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 12 (2014 год)
Дата 2014-04-12
класс
Класс 10-11 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .