Задача 64757

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Углы между биссектрисами ]

Сложность: 4- Классы:

Условие

Биссектрисы AA₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке I. Описанные окружности треугольников AIC₁ и CIA₁ повторно пересекают дуги AC и BC (не содержащие точек B и A соответственно) описанной окружности треугольника ABC в точках C₂ и A₂ соответственно. Докажите, что прямые A₁A₂ и C₁C₂ пересекаются на описанной окружности треугольника ABC.

Решение

  Пусть X – точка пересечения прямой C₁C₂ и описанной окружности ω треугольника ABC (см. рис.).

  Из равенства вписанных углов, опирающихся на одну дугу, следует, что  ∠AC₂X = ∠AC₂C₁ = ∠AIC₁ = 90° – ½ ∠B (см. задачу 55448). Поскольку
∠AC₂C = 180° – ∠B,  то  ∠AC₂X = ∠CC₂X,  то есть X – середина дуги AC.
  То, что прямая A₁A₂ также пересекает ω в середине дуги ABC, доказывается аналогично.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	12 (2014 год)
Дата	2014-04-12
класс
Класс	10-11 класс
задача
Номер	3