ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64758
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Радикальная ось ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы:
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Медианы AA0, BB0 и CC0 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке M, а высоты AA1, BB1 и CC1 – в точке H. Касательная к описанной окружности треугольника A1B1C1 в точке C1 пересекает прямую A0B0 в точке C'. Точки A' и B' определяются аналогично. Докажите, что A', B' и C' лежат на одной прямой, перпендикулярной прямой MH.


Решение

  Основания высот и медиан треугольника ABC лежат на окружности девяти точек ω1 (см. задачу 52511). Прямая Эйлера MH является линией центров этой окружности и описанной окружности ω треугольника ABC (см. задачу 64414). Поэтому достаточно доказать, что точки A', B' и C' принадлежат радикальной оси ω и ω1 (см. рис.).

  Докажем этот факт для точки C' (доказательство для остальных точек аналогично). Покажем, что CC' – касательная к окружности ω.

  Первый способ. Поскольку прямые CC1 и A0B0 перпендикулярны и отрезок CC1 делится средней линией A0B0 пополам, то точки C и C1 симметричны относительно прямой B0C', следовательно,  ∠C'CA0 = ∠C'C1A0  и  ∠CB0A0 = ∠C1B0A0.
  Поскольку C1C' – касательная к окружности ω1, то  ∠A0B0C1 = ∠A0C1C'. Из симметрию точек C и C1 относительно B0C' и параллельности прямых AB и A0B0 следует, что  ∠BAC = ∠A0B0C = ∠C'B0C1 = ∠A0C1C' = ∠C'CA0,  то есть CC' – касательная к окружности ω.

  Второй способ. Описанная окружность и окружность девяти точек гомотетичны с центром в точке H и коэффициентом ½. При этой гомотетии касательная к окружности ω в точке C перейдёт в касательную к ω1 в точке T – середине отрезка CH. Эти касательные образуют с отрезком CC1 равные углы. Касательные к ω1 в точках T и C1 также образуют с CC1 равные углы. Следовательно, и касательные к окружностям ω и ω1 в точках C и C1 соответственно образуют с CC1 равные углы. Значит, точка пересечения касательных лежит на серединном перпендикуляре к CC1, то есть на A0B0.

  В силу симметрии C'C = C'C1,  то есть степени точки C' относительно окружностей ω и ω1 равны. Следовательно, точка C' принадлежит радикальной оси этих окружностей, что и требовалось.

Замечания

Для доказательства того, что CC' – касательная, также можно было воспользоваться симметрией описанных окружностей треугольников C1B0A0 и CB0A0 и гомотетией с центром в точке C и коэффициентом 2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 12 (2014 год)
Дата 2014-04-12
класс
Класс 10-11 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .