ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64770
Темы:    [ Монотонность, ограниченность ]
[ Доказательство от противного ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Храбров А.

Дана функция f, определённая на множестве действительных чисел и принимающая действительные значения. Известно, что для любых x и y, таких, что  x > y,  верно неравенство  (f(x))² ≤ f(y).  Докажите, что множество значений функции содержится в промежутке  [0,1].


Решение

  По условию  f(y) ≥ (f(y+1))² ≥ 0  для любого y, поэтому все значения функции неотрицательны.
  Пусть теперь  f(x0) = 1 + a > 1  для некоторого x0. Докажем индукцией по n, что  f(y) > 1+ 2na  для любого  y > x0.
  База  (n = 1).  f(y) ≥ (f(x0))² = 1 + 2a + a² > 1 + 2a.
  Шаг индукции.  y < ½ (x0 + y) < x0.  По предположению индукции  f(½ (x0 + y)) > 1 + 2na.  Поэтому  f(y) ≥ (f(½ (x0 + y)))² = 1 + 2n+1a + (2na)² > 1 + 2n+1a.
  Итак, для любого фиксированного  y < x0  имеем  f(y) > 1 + 2na  при любом натуральном n. Но это невозможно, так как  2na > (f(y)  при достаточно больших n. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2013-2014
этап
Вариант 5
класс
Класс 10
задача
Номер 10.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .