Задача 64780

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Авторы: Зайцева Ю., Швецов Д.В.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC, касается катетов AC и BC в точках B₁ и A₁, а гипотенузы – в точке C₁. Прямые C₁A₁ и C₁B₁ пересекают CA и CB соответственно в точках B₀ и A₀. Докажите, что  AB₀ = BA₀.

Решение

Пусть I – центр вписанной окружности. Так как CA₁IB₁ – квадрат, а прямая C₁A₁ перпендикулярна биссектрисе угла B, то треугольники AIB₁ и A₀CB₁ равны по катету и острому углу. Значит,  A₀C = AB₁.  Аналогично,  B₀C = BA₁. Следовательно,  AB₀ = AB₁ + B₁C + CB₀ = A₀C + CA₁ + A₁B = A₀B.

Замечания

Из решения следует, что длины отрезков AB₀ и BA₀ равны полупериметру исходного треугольника, то есть A₀ и B₀ – точки касания вневписанных окружностей с продолжениями сторон BC и AC соответственно. Доказав это иным способом, можно получить другое решение задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2014
класс
Класс	8
задача
Номер	8.1