|
|
 |
Условие
Сфера ω проходит через вершину S пирамиды SABC и пересекает рёбра SA, SB и SC вторично в точках A1, B1 и C1 соответственно. Сфера Ω, описанная около пирамиды SABC, пересекается с ω по окружности, лежащей в плоскости, параллельной плоскости (ABC). Точки A2, B2 и C2 симметричны точкам A1, B1 и C1 относительно середин рёбер SA, SB и SC соответственно. Докажите, что точки A, B, C, A2, B2 и C2 лежат на одной сфере.
Решение 1
Утверждение задачи эквивалентно равенству SA2·SA = SB2·SB = SC2·SC. Ввиду равенства AA1 = SA2 и двух аналогичных, достаточно доказать, что AA1·AS = BB1·BS = CC1·CS.
Пусть l – прямая, проходящая через центры сфер Ω и ω. Окружность пересечения этих сфер лежит в плоскости, перпендикулярной l, так что l ⊥ (ABC). Это значит, что при повороте вокруг l описанная окружность треугольника ABC переходит в себя, и подходящим таким поворотом можно точку A перевести в B. Пусть точки S и A1 при этом повороте переходят в S' и A'1 (они тоже лежат на ω, рис. слева). Тогда AA1·AS = BA'1·BS' = BB1·BS.
Равенство AA1·AS = CC1·CS доказывается аналогично.
Решение 2
Обозначим через O1 и O центры сфер ω и Ω соответственно. Как и в первом решении, введём прямую l, проходящую через O и O1; тогда l ⊥ (ABC).
Пусть O2 – точка, симметричная O1 относительно O. Тогда O2 лежит на l, откуда O2A = O2B = O2C; обозначим r = O2A. Проекции точек O2 и O1 на SA симметричны относительно проекции точки O, то есть относительно середины A' отрезка SA. Так как проекция точки O1 является серединой отрезка SA1, из симметрии относительно A' получаем, что проекция точки O2 – это середина отрезка AA2. Значит, A2O2 = AO2 = r. Аналогично показывается, что B2O2 = C2O2 = r. Значит, требуемые шесть точек лежат на сфере с центром O2 и радиусом r.
