Задача 64799

Темы:    [ Необычные построения (прочее) ] [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Казицына Т.В.

Таня вырезала из клетчатой бумаги треугольник, изображённый на рисунке. Через некоторое время линии сетки выцвели. Сможет ли Таня их восстановить, не пользуясь никакими инструментами, а только перегибая треугольник? (Длины сторон треугольника Таня помнит.)

Решение

  Пусть ABC – данный треугольник  (AC = BC).  Заметим, что, сгибая бумагу, можно найти середину любого заданного отрезка. Построим медиану AA₀. По теореме Фалеса вертикальные линии сетки делят её на четыре равные части. Поэтому, построив такую точку A₁, что  AA₁ = ¼ AA₀,  и перегнув треугольник по прямой AA₁, получим точку C₁, для которой  AC₁ = ¹/₇ AB  (см. рис.).

  Теперь, построив отрезки  C₁C₂ = C₂C₃ = ... = C₅C₆ = AC₁,  мы найдём все узлы сетки, лежащие на стороне AB. Перегнув треугольник по прямой, проходящей через C₂, так, чтобы точка C₃ попала на прямую CC₁, мы получим линию сетки, проходящую через C₂, и т.д. Перпендикулярные линии строятся аналогично.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2014
класс
Класс	8
задача
Номер	8.4